問題5　平面において、点Pは曲線C₁ : y = x²上を、
点Qは曲線C₂ :y = -x² + 8x - 15上を動くものとする。
(1)　線分PQの長さが最小となるとき、点PにおけるC₁の接線と
点QにおけるC₂の接線は、共にPとQを通る直線に垂直であることを示せ。
(2)　線分PQの長さの最小値および最小値を与える点P, Qの座標を求めよ。

問題6　放物線C₁: y=x²を直線l: y=2xについて対称移動すると、
　 曲線C₂: 9x² - [ ア ]xy + [ イ ]y² + [ ウ ]x - { エ }y = 0
となる。このとき、C₁とC₂で囲まれた部分の面積は[ オ ]であり、
C₂とx軸で囲まれた部分の面積は[ カ ]である。
また、C₁とC₂に共通に接する直線の方程式はy=-[ キ ]x - [ ク ]

問題７　半径1,　1-2rの同心円の間に半径rの円がn個、
互いに交わらずに入ってるという状態を考える。
n≧2を固定した上で、rを変化させる。
(1)　rは0＜r≦sin(π/n)/(1 + sin(π/n))の範囲に無ければならないことを示せ。
(2)　これらn+2個の円の面積の総和が最小となるrの値を求めよ。

問題８　　点Oを中心とする半径1の円Cに含まれる２つの円C₁, C₂を考える。
ただし、C₁, C₂の中心はCの直径AB上にあり、
C₁は点Aで、 C₂は点BでそれぞれCと接している。
また、 C₁, C₂ の半径をそれぞれa, bとする。
C 上の点Pから C₁, C₂ に１本ずつ接線を引き、それらの接点をQ, Rとする。
(1)　∠POA = θとするとき、PQはθによってどのように表されるか。
(2)　PをC上で動かしたときのPQ + PRの最大値を求めよ。

問題９　　
△ABCをその重心Gを通り辺BCと交わらない直線 l で２つの部分に分けるとき、
小さい方の面積が最小になるのはどのような場合か。

問題１０　　
　座標平面上に、点(p sinθ,p cosθ)と直線l ：x sinθ + y cosθ + p = 0が与えられたとき、
Aまでの距離と、l までの距離が等しい点の軌跡をCとする。ただし、p＞ 0, 0＜θ＜π/2である。
(1)　Cを原点のまわりにθだけ回転して得られる曲線の方程式を求めよ。
(2)　Cとx軸とによって囲まれた部分の面積Sをpとθを用いて表せ。
(3)　pとθが関係p = cos²θを満たし、θが0＜θ＜π/2の範囲を動くとき、Sの最大値を求めよ。

問題11　　
　座標空間内の６つの平面x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1で囲まれた立方体をCとする。
l = (-a₁, -a₂. -a₃)をa₁>0, a₂>0, a₃>0を満たし、大きさが１のベクトルとする。
原点Oを通りベクトルl に垂直な平面をHとする。
　ベクトルlを進行方向にもつ光線により平面Hに生じる立方体の影の面積をa₁,a₂,a₃を用いて表せ。

問題12　　
　xy平面上の点P(a,b)に対し、正方形S(P)を
連立不等式|x-a|≦1/2、|y-b|≦1/2の表す領域として定め、
原点とS(P)の点との距離の最小値をf(P)とする。
点(2,1)を中心とする半径1の円周上をPが動くとき、
f(P)の最大値を求めよ。