ベクトル

注：高校教科書ではベクトルを上付き矢印で表しますが、
このページでは太字を用いて表すことにします。
極力HTMLのみで記述したいからです。

問１　三角形ABCに対し、2PA+3PB+4PC=0なる点Pを同一平面上にとる。
(1)　直線APと直線BCとの交点をDとするとき、線分長の比AP:PDとBD:DCをそれぞれ求めよ。
(2)　３点A,B,Cを通る円の半径が１で、点Pがその円の中心になっているとき、
　　三角形ABCの面積を求めよ。

出典：典型問題　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問２　四面体OABCにおいてOA=a, OB=b, OC=cとする。
辺OAを2:1に内分する点をP、辺BCを3:2に内分する点をQ、
線分PQを4:3に内分する点をR、直線BRと平面OACとの交点をSとする。
ベクトルORとOSをa, b, cを用いて表せ。
さらに線分BRとRSの長さの比を求めよ。

出典：02年立命館大・形式変更　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問３　空間内に原点Oと、３点A(5,1,-1),B(3,2,2),C(3,-1,-1)が与えられている。
(1)　Aから直線BCに下ろした垂線の足Hの座標を求めよ。
(2)　点Pが三角形ABCの周または内部を動くとき、線分OPの長さの最小値を求めよ。

出典：97年大阪府立大・問題文変更　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問４　∠A=90°、2AB=ACである直角三角形ABCにおいて、辺BCを3:1に内分する点をPとする。
辺AC上の点をQとするとき、AP⊥BQとなるためには、点Qをどこにとればよいか。

出典：典型題　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問５　座標空間における３点A(4,- 1,2),B(2,2,3),C(5,- 4,0)を頂点とする
三角形の外心（外接円の中心）の座標を求めよ。

出典：01年早大・教育　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問６　点Oを中心とする半径１の円周上に異なる３点A,B,Cがある。
｜OA+OB+OC｜=1であることは、△ABCが直角三角形であるための必要十分条件でることを示せ。

出典：01年大阪市大（表現変更）　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問７　1辺の長さが1の立方体ABCD-A'B'C'D'と，その外接球Sを考える．
ABCD，AA'B'B，BB'C'C，CC'D'D,ADD'A'という5つの面の中心を
a,b,c,d,eとする．このとき，線分eaをa方向に，線分bc,dcを
それぞれc方向に延長して外接球Sと交わる点をX,Y,Zとする．
このとき，次の問いに答えよ．
(1)　X,Y,Z,B,Cの5点は同一平面上にあることを示せ．
(2)　さらにこの5点は，正五角形の頂点となっていることを示せ．
(3)　その正五角形の面積を求めよ．
(4)　上で考えた正五角形をひとつの面とし，球Sに内接する正多面体の体積を求めよ．

出典：葵玲様ご提供　解答は後日

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問８　空間の４点O(0,0,0),A(-3,2,1),B(2,-1,-1),C(1,1,0)を考える。
(1)　三角形OABの面積を求めよ。
(2)　点Cから平面OABに引いた垂線の足Hの座標を求めよ。
(3)　四面体OABCの体積を求めよ。

出典：典型題　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問９　座標空間において、点Aから発射されたベクトル(1,1,2)に平行な光線が、
原点を通り法線ベクトルを(2,-1,1)とする平面a上の点Pで反射した後、
点B(2,3,2)を通り、PA=PBが成り立っているという。次の問いに答えよ。
(1)　点Bの平面aに関する対称点の座標を求めよ。 (2)　点Aの座標を求めよ。

出典：典型題（ただ、現指導要領では少し難しい?）　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問題10　原点Oを中心とする単位円周上に相異なる点P₁, P₂, P₃, P₄があって、
OP₁+OP₂+OP₃+OP₄=0となっている。
このとき、P₁, P₂, P₃, P₄はある長方形の頂点となっていることを示せ。

出典：91年京大　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問題11　△OABに対し、点PをOP=sOA+tOBで点Pを定める。
s, tが(1)(2)(3)の各条件をみたすとき、Pの存在範囲をそれぞれ図示せよ。
更に、図示した範囲の面積は△OABの何倍になるか答えよ。
(1)　0≦s≦1/2, 0≦t≦1
(2)　2s+t≦2, ｓ≧0, t≧0
(3)　0≦s+t≦2, -1≦ｓ≦1, t≧0

出典：典型問題　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問題12　△ABCの外心をO、重心をG、垂心をHとする。
(1)　点H'をOH' = OA + OB + OCで定まる点とするとき、H'とHは一致することを示せ。
(2)　O, G, Hのうちのいずれか2点が一致すれば、△ABCは正三角形であることを示せ。

出典：有名問題　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問題13　座標空間内において、原点を中心とする半径１の球面をSとし、
その上に点N(0,0,1)をとる。球面S上のNと異なる点P(p,q,r)に対して、
直線NPとxy平面との交点をQ(u,v,0)とする。
　 yz平面をx軸方向に1/2だけ平行移動して得られる平面をTとする。
点Pが球面Sと平面Tとの交線の上を動くとき、対応する点Qがxy平面上に描く
軌跡の方程式を求め、それがどのような図形か述べよ。

出典：02　愛知教育大　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ