問題２　eを自然対数の底として、I_n = ∫₀¹xⁿe^xdx (n=0,1,2,…)とする。
(1)　0≦x≦1のとき0＜e^x≦eであることを用いて、lim_n→∞I_n = 0であることを示せ。
(2)　n≧1のとき、I_nをI_n-1, nを用いて表せ。
(3)　無限級数の和Σ_k=0^∞(-1)^k/k!を求めよ。
(4)　n個の球とn個の箱があり、球にも箱にも1,2,…,nの番号がつけてある。
1つの箱について1個ずつの球をランダムに入れる方法は全部でn!通りの順列だが、
このうち、どの箱についても箱とその中の球の番号が異なる順列の個数をf(n)とすると、
3以上のnに対し、f(n) = (n - 1){f(n - 1) + f( n - 2)}が成り立つ。理由を説明せよ。
(5)　n個の球とn個の箱があり、球にも箱にも1,2,…,nの番号がつけてある。
1つの箱について1個ずつの球をランダムに入れるとき、
どの箱についても箱とその中の球の番号が異なる確率をP(n)とする。
lim_n→∞P(n) = 1/eであることを示せ。

問題３　-1＜x＜1とする。次の極限値を求めよ。
　lim_n→∞{k(n + 1 - k)/n}*x^k
ただし、|x|＜1のときlim_n→∞nxⁿ = 0であることは証明なしで用いても良い。

問題４　nを正の整数とする。10進法で表したn!について、
１の位から10^m-1の位までの数字が全て0で、10^mの位の数字が0でないとき、
関数f(n)の値をmとする。このとき、次の値を求めよ。
(1)　f(10), f(100)　　(2)　lim_n→∞f(10ⁿ)/10ⁿ