整式の割り算・式の証明 問題
| 問題１ (1) 整式(x3+x2+x+1)2をx3-1で割った余りを求めよ。 (2) 整式x3n+1をx3-1で割った余りを求めよ。 (3) 整式x20をx3-1で割った余りを求めよ。 |
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出典：02年青山学院大 解答はこちら |
| 問題２ 実数x,y,zがx+y+z≧3を満たすとき、x2+y2+z2≧x+y+zが成り立つことを示せ。 |
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出典：98年室蘭工大 解答はこちら |
| 問題３ 任意の正の実数x,yに対し√x+√y≦k√(x+y)が成り立つような最小の実数kの値を求めよ。 |
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出典：典型題 解答はこちら |
| 問題４ a,bを正の数、nを正の整数とする。(a+b)n≦2n-1(an+bn) であることを示せ。 |
| 問題５ a＞0, b＞0, c＞0のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ． (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)≦abc |
| 提供：変態数学教師見習い様 解答はこちら |
| 問題６ ある多項式f(x)を(x-1)で割ったら2余った。また、(x-2)2で割ったら、2x+1余った。 f(x)を(x-2)2(x-1)で割ったときの余りを求めよ。 |
| 提供：源秀哉様 解答はこちら |
| 問題７ a+b+c=0を満たす実数a, b, cについて、 (|a|+|b|+|c|)2≧2(a2+b2+c2) が成り立つことを示せ。 また、ここで等号が成り立つのはどんな場合か。 |
| 提供：トモ様(94年・京大) 解答はこちら |
| 問題８ (1) x,y,zを実数とするとき、|x-y|と|√(x2+z2)-√(y2+z2)|の大小を比較せよ。 (2) x＞z＞yを満たす実数の組(x,y,z)で、|x-y|=|√(x2+z2)-√(y2+z2)| となるものは存在するか。理由を述べて答えよ。 |
| 出典：99年横浜国大・後期経営 解答はこちら |
| 問題17 f(x) = x/(1+x)とする。 (1) 0＜a≦bのとき、f(a)≦f(b)となることを示せ。 (2) 不等式 |x|/(1+|x|) + |y|/(1+|y|) + |z|/(1+|z|)≧|x+y+z|/(1+|x+y+z|) が成り立つことを示せ。また、等号が成立するのはどのような場合か。 |
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出典：九州大・改 解答はこちら |
| 問題10
整式f(x)をx2 - x + 1で割れば、5x + a - 3余り、x2 + 1で割れば、2x + a - 2余る。 このようなf(x)のうち、次数が最も低いものを求めよ。ただしaは定数とする。 |
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典型題 解答はこちら |
| 問題11 1/a + 1/b + 1/c = 1/(a + b + c)が成り立つとき、 正の奇数nに対し、 1/an + 1/bn + 1/cn = 1/(an + bn + cn)が成り立つことを示せ。 |
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有名問題 解答はこちら |
問題12 nを自然数とし、a1,a2,…, anを正の実数とする。このとき、次の不等式を示せ。 (Σi=1nai)*(Σi=1n1/ai)≧n2 |
00山口大 解答はこちら |
問題13 xの整式ｆ(x) = x5 - ax + b が(x - 1)2 で割り切れるとき、a ,bそれぞれの値を求めよ。 |
有名問題 解答はこちら |