数３積分法(求積系)問題

問題１ 　
(1)　f(x)=log{x+√(1+x²)}の導関数を求めよ
(2)　aを正の実数とし、極方程式r=θで定義される曲線の、a≦θ≦a+1/aの部分の長さをL(a)とおく。このとき、lim[a→∞]L(a)を求めよ。

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問題２ 　曲線y=xⁿがある。この曲線のx=0からx=1までの曲線の長さのn→∞での極限を求めよ。
ただしlim[n→∞](1/n)^1/(n-1)=1を用いても良い。

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問題３ 　(1)　∫₀¹x³e^x2dxの値を求めよ。
(2)　曲線y=e^x2上の点(1,e)における接線の方程式を求めよ。
(3)　曲線y=e^x2と(2)で求めた接線およびy軸で囲まれる領域をy軸周りに回転してできる立体の体積を求めよ。

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問題４ 　xy平面上の円C:x²+y²=a²に半径a/4の円Dが内接している。Dの周上の点Pが最初は点(a,0)に一致し、その後、DがCの周上を図の様に滑らずに転がる(0≦θ≦2π)ときのPの軌跡を曲線x=f(θ),y=g(θ)で表す。
(1)　f(θ),g(θ)を求めよ。
(2)　I_n=∫₀^π/2sinⁿxdx(n=0,1,2,…)とするとき、I_n+2をI_nとnを用いて表せ。
(3)　曲線で囲まれる領域の面積Sを求めよ。
(4)　曲線で囲まれる領域をx軸周りに回転してできる立体の体積Vを求めよ。

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問題５ 　原点を通り、ベクトルv=(1,1,1)に平行な直線lがある。xy平面上の円板x²+y²≦1をlのまわりに１回転するとき、円板が通過してできる立体の体積Vを求めよ。

出典：典型問題　解答はこちら

問題６ 　対数は自然対数とし、kは正の定数とする。
(1)　実数xに対し、次の不等式が成立することを示せ。
　x-(1/2)x²+(1/3)x³-(1/4)x⁴≦log(1+x)≦x-(1/2)x²+(1/3)x³
(2)　曲線y=xlog(kx+1)とx軸と直線x=1とで囲まれる部分の面積をS(k)とおくとき、lim_k→0S(k)/kの値を求めよ。

出典：典型問題　解答はこちら

問題７　xy 平面上の単位円C₁ と、条件-1 ＜ a ＜-1/2を満たす実数a に対し、点R(a, 0) を考える。C₁上の点P におけるC₁の接線と、R を通りこの接線と直交する直線との交点をQ とする。点P がC₁を一周するときに、Q が描く曲線をC₂とする。C₂上の点のx 座標の最小値が-1より小さいことを示し、C₂で囲まれる図形の面積を求めよ。

出典：01年京大後期　解答はこちら

問題８ 　xyz 空間において、条件
　 x² + y²≦z², z²≦ x, 0≦z≦1
をみたす点P(x,y,z)の全体からなる立体を考える。この立体の体積をVとし、0≦k≦1に対し、 z軸と直交する平面 z = k による切り口の面積を S(k) とする。
(1)　k= cosθ とおくとき S(k) を θ で表せ。ただし 0≦θ≦ π/2 とする。
(2)　V の値を求めよ。

出典：94年東大前期理科　解答はこちら

問題９ 　xy平面上でy²≦x²(1-x²)を満たす点(x,y)の集合をDとする。
(1)　Dをx軸周りに回転して得られる立体の体積V₁を求めよ。
(2)　Dをy軸周りに回転して得られる立体の体積V₂を求めよ。

出典：典型題　解答はこちら

問題10 　曲線y=x(1-x)（0≦x≦1/2）をy軸の周りに回転してできる容器に、単位時間当たり一定の割合Vで水を注ぐ。
(1)　水面の上昇する速度vを水面の高さhの関数として表せ。
(2)　空の容器に水がいっぱいになるまでの時間を求めよ。

出典：01年・筑波大　解答はこちら

問題11 　xyz空間において、xy平面上の曲線y=x²をy軸のまわりに１回転してできる曲面Sと、平面 P = {(x,y,z) | y = 2x+3} によって囲まれる領域の体積を求めよ。

出典：有名問題　解答はこちら

問題12 　　xyz空間に5点A(1,1,0), B(-1,1,0), C(-1,-1,0), (1,-1,0), P(0,0,3)をとる。四角錐PABCDのx²+y²≧ 1を満たす部分の体積を求めよ。

出典：98 東大前期　解答はこちら

問題13 　　aは与えられた実数で、0＜a≦ 1を満たすものとする。xyz空間内に1辺の長さ2aの正三角形△PQRを考える。辺PQはxy平面上にあり、△PQRを含む平面はxy平面と垂直で、さらに点Rのz座標は正であるとする。
(1)　辺PQがxy平面の単位円の内部と周上を自由に動くとき、△PQRが動いてできる立体の体積Vを求めよ。
(2)　aが0＜a≦1の範囲を動くとき、体積Vの最大値を求めよ。

出典：96 京大後期　解答はこちら

問題14 　xyz空間の３つの円筒
　 x² + y² ≦a²,　y² + z ² ≦a², z² + x ² ≦a² (aは正の定数)
の共通部分の体積を求めよ。

出典：有名問題　解答はこちら

問題15 　a を0＜a＜1/4を満たす実数とする。xy 平面で、不等式
　　　　　　y² ≦ x²(1 - x²) - a
の表す領域をy 軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めよ。

出典：97年　東大理系前期　解答はこちら

問題16 　rを正の実数とする。xyz空間において
　x² + y²≦r², y² + z²≧r², z² + x²≦r²
を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ。

出典：05年　東大理系前期　解答はこちら

問題17 　xyz空間において、点(0, 0, 0)をA、点(8, 0, 0)をB、点(6, 2√3, 0)をCとする。
点Pが△ABCの辺上を一周するとき、Pを中心とし半径1の球が通過する点全体の作る立体をKとする。
Kの体積を求めよ。

出典：85年　東大理系　解答はこちら