三角関数 問題
| 問１. 次の関数（xは実数）の最大値・最小値を求めよ。 (1) f(x)=cos2x-sinx+3 (2) f(x)=2cosx-sinx+3 (3) f(x)=2sinxcosx-sin2x+3 (4) f(x)=sin2x-sinx-cosx |
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| 問２. 三角形ABCにおいて、辺BC,CA,ABの長さをそれぞれb,cとし、 ∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとするとき、線分ADの長さをa,b,cを用いて表せ。 |
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| 問３ 任意の整数nに対し、cos(nx)はt=cosxについてのn次の多項式（整式）であることを示せ。 |
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| 問４ 三角形ABCにおいて、等式sinA=cosB+cosCが成り立つとき、どのような三角形か。 |
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| 問５ 単位円周上に３点A(1,0),B(-1/2, √3/2),C(-1/2, -√3/2)がある。 点Pが単位円周上の点を任意に動くとき、PA+PB+PCの最大値と最小値を求めよ。 |
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| 問６ θの方程式 2sin3θ+3cos2θ+6sinθ+a=0（-180°＜θ≦180°） の相異なる解の個数はaの値によってどのように変わるか。 |
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| 問７ (1)自然数n=1, 2, 3, …に対して、ある多項式pn(x),
qn(x)が存在して、 sinnθ=pn(tanθ)cosnθ cosnθ=qn(tanθ)cosnθ と書けることを示せ。 (2)このとき、n＞1ならば次の等式が成立することを証明せよ。 p'n(x)=nqn-1(x) q'n(x)=-npn-1(x) |
| 類題 nは自然数とする。 (1)すべての実数θに対し cosnθ=fn(cosθ), sinnθ=gn(cosθ)sinθ をみたし、係数がともにすべて整数であるn次式fn(x)とn-1次式gn(x)が存在することを示せ。 (2)fn'(x)=ngn(x)であることを示せ。 (3)pを3以上の素数とするとき、fp(x)のp-1次以下の係数はすべてpで割り切れることを示せ。 |
| 出典：91年・東大／類題は96年京大（共にトモ様ご提供） 解答はこちら |
| 問８ 0°≦θ≦180°とする。 (1) t=sinθ+r*cosθ（rは実数）のとき、tのとり得る値の範囲を求めよ。 (2) y=(√3)*(-2sinθ+sin2θ)-6cosθ+cos2θを適当なrの値でのtの関数として表し、 yの最大値、最小値、およびそのときのθの値を求めよ。 |
| 出典：03年・西南学院大・改 解答はこちら |
| 問題9 ２つの不等式x2 + y2≦π2, sin2x - sin2y≧0を満たす点(x ,y)の存在する領域を座標平面上に図示せよ。 |
出典：04年・岐阜薬科大 解答はこちら |