問題１ (1) 直線l:y=√3xと点P(-1,2)がある。lに関してPと線対称な点をQとする。Qの座標を求めよ。
(2) lとx軸のなす角をθとおく。平面上の任意の点を原点を中心にθ回転させる２次正方行列A、
および、任意の点をx軸に関して対称移動する２次正方行列Bをそうなる理由と共に求めよ。
更に、行列M=ABA-1を求めよ。
(3) 行列Mによって、点Pは点Qに写されることを示せ。
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問題２（#ベクトルは太字で表記します）
行列
、列ベクトル
に関して、以下の問いに答えよ。
(1) Ax=sxを満たすような(s,t)の値の組は２つある。求めよ。
(2) (1)で求めた２つのtの値を小さい順にt1,t2とし、
と定める。p=ax1+bx2を満たす値a,bを求めよ。
(3) 必要ならば(1)(2)を用いて、漸化式
で定義される数列{an}の一般項を求めよ。
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問題３ 次の問に答えよ．
（１） 複素数を成分とする2×2行列X,Yを考える．次の2つの命題は正しいか？
正しければ証明を，誤りならば反例を挙げよ．
(1-1) XY=0ならばX=0かY=0である．
(1-2) XYが逆行列を持たないならば，XかYの少なくとも一方は逆行列を持たない．
（２） 実数を成分とする2×2行列Aを考える．
このとき，A2+Eは逆行列を持つか，あるいは0-行列に等しいことを示せ．
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問題４ 2次正方行列
A=[a b]
[b c]
に対して、2次行列t2-(a+c)t+(ac-b2)=0の2解をα,βとする。
このとき、n≧2となるすべてのnにおいて、
An={(αn-βn)/(α-β)}A-{αβ(αn-1-βn-1)/(α-β)}E
となることを示せ。ただし、Eは2次の単位行列とする。
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問題５ 2行2列の行列A,BがAB-BA=Aを満たすとき、A2=Oが成立することを証明せよ。
出典：84年愛知大 解答はこちら