問７　nを自然数とする。このとき
　lim[n→∞]n|sinπ√(n²+1)|
の値を求めよ。

問８　(1)　ｎ人の男性がいるとする。 女性Ａさんとn-１人の女性たちを考える。
男性が女性の中から1/nの確率でひとりを指名するとき、
Ａさんが誰からも指名されない確率をp_nとする。
lim_n→∞p_n を求めよ。
(2)　１からｎまでの数字が書かれたｎ個の箱とｎ枚の紙があるとする。
１つの箱に１枚ずつ紙を入れたとき、どんなｉに対しても
ｉの書かれた箱にｉの書かれた紙が入っていない確率をp_nとする。
lim_n→∞p_nを求めよ。

問９　(1)　a＞0とする。2n次方程式x²ⁿ-a²ⁿ=0を解け。
(2)　実数aに対して、多項式x²ⁿ-a²ⁿを実数の範囲で因数分解せよ。
(3)　{1+x/(2n)}²ⁿ-{1-x/(2n)}²ⁿが
数列a_ｍ, b_ｍと定数kを用いて
　 kxΠ[m=1 to n-1](1+b_mx+a_mx²)
と表される事を示しa_ｍ, b_ｍの一般項、及びkの値を求めよ。
(4)　Σ[k=1 to n-1]a_kをnの有理式で表せ。
(5)　(4)の結果を用いてΣ[k=1 to ∞]1/k²を求めよ。
ただし　0＜x＜π/2でsinx＜x＜tanxである事を用いてよい。

問10　f(1)=0となる任意の3次関数f(x)について、
綾乃さんと秀哉くんの2人は次の様に言いました。
綾乃「lim_x→1f(x)/(x-1)=0ならば、f(x)は(x-1)²で割り切れるわ。」
秀哉「点(1,f(1))における接線に平行な接線が必ず存在するよ。」
2人の言っていることは正しいでしょうか。
正しければ証明し、間違っていたら反例を挙げて下さい。

問題11　a は0＜a＜π を満たす定数とする。
n = 0, 1, 2, … に対し、nπ＜x＜(n + 1)π の範囲に
sin(x + a) = x sin x を満たす x がただ一つ存在するので、この値をx_n とする。
このとき、次の極限値を求めよ。
(1)　 lim_n→∞(x_n- nπ)　　　(2)　 lim_n→∞n(x_n- nπ)

問題12　方程式xⁿ + x^n-1 +… + x - n + 1 = 0　(n = 1,2,…)について以下の問いに答えよ。
(1)　上の方程式は負でない実数解をただ１つしかもたないことを示せ。
また、この解をs_nとおくと、0≦ s_n＜1であることを示せ。
(2)　g_n(x)=(1/n)Σ_k=1ⁿx^kとおくと、0≦x≦1のときg_n(x)≧ g_n+1(x)であることを示せ。
(3)　s₁＜s₂＜…＜s₂＜…＜1であることを示せ。
(4)　s_n≧1 - 1/nを示すことにより、lim_n→∞s_n = 1であることを示せ。

問題13　等式cos 2x+cx²≧1が全ての実数xについて成り立つような定数cの範囲を求めよ。

問題14　　相撲の千秋楽、実力互角な３人の力士A, B, Cによる優勝決定戦（巴戦）を考える。ルールは次の通り。

• 第1戦はクジで選ばれた二人の力士、たとえばAとBが対戦。
• 第2戦は第1戦の勝者（たとえばA）と控えの力士Cが対戦。ここでAが勝てばAの優勝。もしCが勝ったら第3戦へ。
• 第3戦は第2戦の勝者Cと控えの力士Bが対戦。ここでCが勝てばCの優勝、もしBが勝ったら第4戦へ。
• 以下同様に進めて、最初に2回連続して勝った力士を優勝とする。

}さて、巴戦は最初にクジで選ばれた2人の力士にとって有利か不利か。

問題15　　a_k = (sin k)/|sin k| (k = 1,2,3,…)のとき、lim_n→∞(1/n)Σ_k=1ⁿa_ka_k+1を求めよ。