個数の処理と確率　問題

問１　４個のボールa,b,c,dを３つの箱X,Y,Zに無作為に入れる。
X,Y,Zの箱に入ったボールの個数をそれぞれX,Y,Zとする。
(1)　整数 X,Y,Zの組(X,Y,Z)として可能なものは全部で何組あるか。
ただし、X+Y+Z=4,X≧0,Y≧0,Z≧0とする。
(2)　X=2となる確率を求めよ。
出典：99年西南学院大(記号等を変更)　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問２　(1)　白球１個と赤球２個と青球４個を円形に並べる方法は何通りあるか。
(2)　白球１個と赤球２個と青球４個をひもでつなげて首飾りを作る方法は何通りあるか。
[チャレンジ問題]　白球３個と赤球３個と青球３個を円形に並べる方法は何通りあるか。
出典：典型問題　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問３　１から15までの整数が書かれた15枚のカードの中から無作為に４枚取り出すとき、
その中で２番目に大きな数がnである確率をPnとする。Pnを最大にするnの値を求めよ。
出典：典型問題　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問４　６人の生徒を３つの部屋に入れる方法は何通りあるか。
次の各場合について答えなさい。ただし空部屋は作らないものとする。
(1)　生徒も部屋も区別せず、人数の分け方だけを考える場合。
(2)　生徒を区別しないが、部屋を区別する場合。
(3)　生徒を区別するが、部屋を区別しない場合。
(4)　生徒も部屋も区別する場合。
出典：典型問題　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問５　さいころを繰り返し投げて、n回目に出た目の数をXnとし、
an=X1X2……Xnとする。このとき、各nについて、an≦9となる確率を求めよ。
出典：02年熊本大　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問６　動点Pが最初、正三角形ABC（頂点の順は反時計回り）の頂点A上にある。
コインを１枚投げて、表が出ればPを反時計回りの隣の頂点に移動し、
裏が出ればPを時計回りの隣の頂点に移動する。
以上の操作をn回（n≧0）繰り返したとき、Pが頂点Aにある確率をanとする。
(1)　an+1をanを用いた式で表せ。
(2)　anを求めよ。
出典：典型題　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問７　右図のような長方形を区画してできた道路を
Ｓ地点からＧ地点まで最短の道のりで歩く。
(1)　全ての経路は何通りあるか。
(2)　Ｐ地点を通らない経路は何通りあるか。
(3)　Ｐ地点もＱ地点も通らない経路は何通りあるか。
(4)　各分岐点で進む方向を等確率で選ぶとき、
Ｐを通る確率を求めよ。
出典：典型題　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問８　A,B,C,Dの４つの県から２チームずつ、
計８つの野球チームがトーナメント形式で優勝を争う。
抽選で右図のように対戦相手を決めるものとし、８チームの力は同等であるとする。
(1)　A県の２チームが１回戦で対戦する確率を求めよ。
(2)　１回戦の４試合が全て同県勢の対戦になる確率を求めよ。
(3)　決勝戦以外では同県勢同士の対戦があり得ないような組合せになる確率を求めよ。
(4)　１回戦の４試合の中で同県勢同士の対戦になる試合数の期待値を求めよ。
出典：99年お茶の水女子大　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問９　正六角形の頂点に１から６までの番号を順につける。
また、n個のサイコロを振り、出た目を番号とする全ての頂点に印をつけるものとする。
このとき、印のついた３点を頂点とする直角三角形が存在する確率をpnとする。
(1)　p3, p4を求めよ。　　(2)　pnを求めよ。
出典：87年 東大・理科(改)　原題の(2)は「limn→∞log(1-pn)を求めよ」　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問10　A,A,A,B,B,C,Cの７文字を１列に並べる順列を考える。
(1)　順列の総数は7!/(3!2!2!)で求められる。その理由を説明せよ。
(2)　Aが少なくとも２個連続している順列は何通りあるか。
(3)　同じ文字が隣り合わない順列は何通りあるか。
出典：典型題　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問11　実力互角のA,B２人の間で試合を繰り返し、先に３回勝った者が優勝者となる。
ただし、２勝２敗になったとき、その後の試合において先に２回多く勝たないと優勝できないものとする。
優勝者が決まるまでの試合数の期待値を求めよ。
出典：96年名古屋市大　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問12　原点Oを出発してx軸上を動く点Pがある。
Pは1つのさいころを投げるごとに右（正方向）か左（負方向）へ1進む。
出発点OをP0とし，さいころをk回投げるときに点Pが動いた点を順に
P1, P2, …, Pkとする。このとき，
P0, P1, …, Pk-1を点Pが通った点と呼ぶことにする。
点Pが座標aの点にいるとき，Pは次の規則に従って動くものとする。
(ア)点Pが座標a+1とa-1の2点とも通ったことがあるか，または一度も通ったことが
なければ，1, 2, 3の目で左へ1動き，4, 5, 6の目で右へ1動く。
(イ)点Pが座標a-1の点のみ通ったことがありa+1の点は通ったことがないときには，
1, 2, 3, 4の目で左へ1動き，5, 6の目で右へ1動く。
(ウ)点Pが座標a+1の点のみ通ったことがありa-1の点は通ったことがないときには，
1, 2の目で左へ1動き，3, 4, 5, 6の目で右へ1動く。
たとえば，1回目にさいころを投げたときには，点Pは座標1と-1のどちらの点も
通ったことがないので，(ア)の規則から左右どちらかに同じ確率で1動く。
その結果右に動いたとすれば，次にさいころを投げるときには(イ)の規則によって
1, 2, 3, 4の目で左へ1動き，5, 6の目で右へ1動く。
このとき，次の問いに答えよ。
(1) さいころを2回投げたあとで，点Pが原点Oにいる確率を求めよ。
(2) さいころを6回投げたあとで，点Pが原点Oにいる確率を求めよ。
出典：03年信州大(トモ様ご提供)　解答は後ほど

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問題13　
(1)　数100を３個の正整数の和として表す。加える数は同じ数を用いてもよいとし、
さらに加える順序が異なれば表し方は異なると考えると、何通りの表し方があるか。
(2)　数100を３個の正整数x, y, zの和として表すとき、100=x+y+z, x≦y≦zとなるような表し方は何通りあるか。
出典：00年 広島修道大・商　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ

問題14　サイコロをn回投げる。出た目の積が次の条件を満たす確率をそれぞれnの式で表せ。
(1)　3の倍数になる。
(2)　4の倍数になる。
(3)　6の倍数になる。
出典：有名題　解答はこちら

大学入試数学問題集TOPへ　トップページへ