高次方程式 問題
| 問１ a,bを実数とする。４次方程式 x4-x3+2x2+ax+b=0 が1+2iを解にもつとき、a,bの値を求めよ。 |
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出典：02年琉球大／誘導削除 解答はこちら
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| 問２
f(x)=x3+(a+1)x2+5x+a-2,g(x)=x3+ax2+6x+a とするとき、f(x)とg(x)が共通因数（xの１次式）をもつような定数aの値を求めよ。 更にそのとき、f(x),g(x)がどのように因数分解されるか示せ。 |
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出典：97年松山大 解答はこちら
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| 問３ f(x)=x3-3x+1として、αを３次方程式 f(x)=0の解の１つとする。 このときα、β=α2-2、γ=β2-2はf(x)=0の相異なる実数解であることを示せ。 |
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出典：典型問題 解答はこちら
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| 問４ f(x)=x3+x2-10x-8として、３次方程式f(x)=0の３つの解をα、β、γとする。 次の値をそれぞれ求めよ。 (1) α2+β2+γ2 (2) α3+β3+γ3 (3) α5+β5+γ5 |
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出典：典型問題 解答はこちら
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| 問題５ 次の問いに答えよ。 (1) (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)を展開せよ。 (2) 次の関係式を満たす実数の組(α,β)を全て求めよ。α+β=12, α3+β3=91 (3) 次の方程式の解を全て求めよ。x3-36x+91=0 |
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出典：典型問題 解答はこちら
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| 問題６ 相異なる3つの0でない複素数の集合Sがあり、 Sのどの2個の要素の積もふたたびSの要素であるという。 このような集合Sを決定せよ。 |
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出典：有名問題 解答はこちら
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| 問題７ k を実数とする。x の方程式 (1/3)x3-x=(1/3)k3-k が異なる３つの実数解α, β, γをもつとき、 (1) k のとり得る値の範囲を求めよ。 (2) k が(1) の範囲を動くとき、|α| +|β| + |γ|のとり得る値の範囲を求めよ。 （数II微分法を用いる解法も、そうでない解法も通用します） |
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