複素数平面　問題

問１　次の2問を解いてください。
(1)　2次方程式x2+ax+b=0の2解をα,βとおく。
今、α及びβを複素平面の2点と解釈すると、∠α0β=2θ、|α|=|β|=rであった。
このとき、a,bをθとｒを用いて表してください。
(2)　3次方程式x3+ax2+bx+c=0の3解をα,β,γとおく。
αを実数とし、β及びγを複素平面の点と解釈すると、∠βαγ=2θ、|β-α|=|γ-α|=rであった。
このとき、a,b,cをα,θ,rを用いて表してください。
出典：源秀哉様ご提供　解答はこちら

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問２　 3次方程式ax3+bx2+cx+d=0の3解をα,β,γとおく。
（ただしα,β,γは相異なるものとする）
いま、2次方程式3ax2+2bx+c=0の2解をu,vとおくと、
複素平面上の点u,vは三角形αβγの内部にあることを示せ。
出典：源秀哉様ご提供　解答はこちら

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問３　 複素数平面上に△OABがあり、点O,A,Bを表す点をそれぞれ原点,α,βとする。
(1)　△OABの面積をα,β,およびこれらの共役複素数を用いて表せ。
(2)　直線OBに関して点Aを対称移動した点Cを表す複素数をα,β,および
これらの共役複素数を用いて表せ。
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問４　0でない複素数z=x+yi(x,yは実数)が不等式1≦z+(1/z)≦4を満たすとき、
zの存在し得る範囲を複素数平面に図示せよ。
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問５　複素数z,wがw=1/(z-1)を満たすとする。
(1)　|z|=1/√2を満たす範囲でzが動くとき、複素数平面上でのwの軌跡を求めよ。
(2)　実部が1となる範囲でzが動くとき、複素数平面上でのwの軌跡を求めよ。
出典：典型問題　解答はこちら

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問６　複素数平面上の３点A,B,Cを表す複素数をそれぞれα,β,γとする。
三角形ABCが正三角形であるための必要十分条件は(α-β)2+(β-γ)2+(γ-α)2=0であることを示せ。
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問７　αを１の虚７乗根の１つ、α'をαの共役複素数とする。
(1)　α7、α6+α5+α4+α3+α2+α+1、 (α+α')3+(α+α')2-2(α+α')-1の値をそれぞれ求めよ。
(2)　θ=360/7(度)のとき、cosθcos2θcos4θおよびsinθsin2θsin4θの値を求めよ。
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