問題７（微分法関連小ネタ集）　以下の問いに答えよ
(1) 次の関数f(x)の導関数f'(x)を求めよ。
　　f(x)=sin(x²)/x（x≠0のとき）、0（x=0のとき）

(2)　x=a*cos³t, y=b*sin³t（0＜t＜π/2)のとき、d²y/dx²をtの式で表せ。

(3)　f(x) = √(1 + √(1 + √(1+x)))のとき、1/f ' (0)を求めよ。

問８　logを自然対数とする。
(1)　x＞0のとき、√x＞logxが成り立つことを示せ。
(2)　(1)を用いてlim_x→+∞(logx)/x, lim_x→+0x*logxを求めよ。
(3)　関数f(x)=x^xのグラフをかけ。

問９　logを自然対数とする。
xy平面の直線y=2(logt)x-t²+1（…[1]）を考える。
tが1≦t≦eの範囲を動くとき、直線[1]が通過する領域を図示せよ。

問10　関数y=sin(x)のグラフ上の点列P_n(x_n,sin(x_n))は
次の1)、2)の条件を共に満たす。(n=1,2,3,・・）
　 1)π/4＜x₁＜π/2
　2)点P_nにおける関数y=sin(x)の法線とx軸との交点のx座標がx_n＋1となる。
このとき、次の問いに答えなさい。
(1)　x_n＋1とx_nの間に成り立つ関係式x_n＋1=f(x_n)を求め、π/4＜x_n＜π/2を示せ。
(2)　π/4＜x＜π/2のとき、0＜f'(x)＜1を示せ。
(3)　lim_n→∞x_nの値を求めよ。

問11　関数 f(x)=e^-x2 の第ｎ次導関数dⁿf(x)/dxⁿ をf_n(x)とおく。（n＝0,1,2,…）
ただしf₀(x)=f(x)とする。
(1)　f_n(x)をf_n-1(x),f_n-2(x)で表せ。
(2)　f_n(0)を求めよ。

問12　（ここでは、ベクトルを太字で表記します）
関数y=f(x)のグラフ上を速さVで左から右方向へ等速運動している動点Pがある。
このとき、次の問いに答えよ。
ただし、速さとは、時間をt、速度ベクトルをv(dx/dt,dy/dt)とするとき、 |v|で表される。
(1)　点Pの加速度ベクトルをa(d²x/dt²,d²y/dt²)とするとき、
加速度の大きさを|a|をVおよびf(x),f'(x),f"(x) を用いて表せ。
(2)　f(x)=e^kxとするとき、 |a|を最大にする点Pの座標を求めよ。(ただし、kは定数とする)