２次関数 問題
| 問１ 不等式asin2x+6sinx+1≧0が常に成り立つようなaの最小値を求めよ。 （注：数２の三角関数の初歩的な知識も必要です） |
| 出典：02年防衛大 解答はこちら |
| 問２ 関数f(x)=x2-4x+3の定義域がp-1≦x≦p+1のとき、f(x)の最小値m(p)と最大値M(p)を求めよ。 |
| 出典：01年神戸学院大(改) 解答はこちら |
| 問３ xの２次方程式x2+2bx-a+1=0（a,bは実数）について、 (1) 全ての解が正であるような実数a,bの条件を求めよ。 (2) 全ての解が- 1≦x≦1にあるような実数a,bの条件を求めよ。 (3) - 1≦x≦1に解をもつような実数a,bの条件を求めよ。 |
| 出典：典型問題 解答はこちら |
| 問４ xの方程式2|x-5|-|x-a|+3=0がただ１つの解をもつような、実数定数aの値を求めよ。 （もちろんxの変域も実数全体です） |
| 出典：02年神戸学院大 解答はこちら |
| 問５ 関数f(x)は、任意の実数t,x,yについて f(tx+(1-t)y)＝tf(x)+(1-t)f(y) , f(0)＝1 , f(1)≠1 を満たしている。次の問いに答えなさい。 (1) f(x)をf(1)とxで表せ。 (2) f(a)＝f(b)のとき、a＝bとなることを示せ。 (3) f(f(f(x)))＝f(x)のとき、f(x)を求めよ。 |
| 出典：興部太郎様ご提供 解答はこちら |
| 問６ ２つの関数 f(x)＝|(1/2)・|x|-2|、g(x)＝f(f(f(x))) について次の問いに答えよ。 (1) 任意の実数 a、b に対して、次の３つの不等式を証明せよ。 (あ) ||a|-|b||≦|a-b| (い) |f(a)-f(b)|≦(1/2)・|a-b| (う) |g(a)-g(b)|≦(1/8)・|a-b| (2) 実数 s、t が g(s)＝s かつ g(t)＝t を満たすとき、s＝t となることを証明せよ。 (3) 実数 u が、 f(u)＝u を満たすとき、g(u)＝u となることを証明せよ。 (4) xの方程式 g(x)＝x を解け。 |
| 出典：興部太郎様ご提供 解答はこちら |
| 問７ f(n)=(a2+2a-3)n2-3an+a2とする。 全ての正の整数nに対し、f(n)＜0が成立するような実数aの範囲を求めよ。 |
| 出典：典型題 解答はこちら |
| 問８ 実数x,yがx≧y≧2の値をとり得るとき、xy-a(x+y)（aは実数）の最小値をaを用いて表せ。 |
| 出典：典型題 解答はこちら |
| 問９ 2次関数y=f(x)のグラフは、3点(1,-3)、(-2,4)、(3,1)を通る。f(x)を求めよ。 |
| 出典：源秀哉様ご提供 解答はこちら |
| 問10 定数lを2以上の自然数とする。 整数nが1≦n≦lの範囲を動くとき、 W(n)=|n-1|+|n-2|+……+|n-l| の最小値およびそのときのnの値を求めよ。 |
| 出典：96 広島修道大(トモ様ご提供) 解答はこちら |
問題11 実数x,yの整式式P = x2 - 4xy + 5y2 - 4y + 5について、 |
| 出典：04九州産業大 解答はこちら |
| 問12 aを定数として、次のxに関する不等式を解け。 (a-2)x2+(4-a)x-2≧0 |
| 出典：03年愛知教育大 解答はこちら |
問題13 実数aに対して、２つの関数y = x2 - 4とy=a(x+1)2のグラフをそれぞれC1, C2とする。 |
出典：02年東京学芸大・後期 解答はこちら |