テンソル積は色々なベクトル空間を想定して定義したが、何種類もベクトル空間が出てくることなどそうありはしない。これからは、とのみで議論をしようと思う。

　テンソル積同士の和は、基底の係数同士を加えればよい。それでは、テンソル積同士の積はどうなるだろうか。
　これは簡単であるし、考えても仕方のないことなので、定義を与えてしまおう。
　テンソル積空間とのテンソル積は、次のように定義される。

()() =

　とをそれぞれベクトル空間として考え、単にテンソル積の定義を適用すればいい。ちなみに テンソル積が非可換であることには注意しておこう。
　元の掛け算も同様である。ξ∈、μ∈ として、

ξμ∈

であって、これもξとμをベクトルと見て以前の定義を適用すればいい。

　 を、直和記号といい、これは集合２つの要素を全て含む新しい集合を作る記号である。∪と何処が違うかというと、∪は同じ要素が複数あればそれらを一つとして数えるが、 の場合は直に和をとり、別々の要素として新しい集合に組み入れるのである。

　これを用いて何ができるか。実は次のように定義される空間を、テンソル代数(Ｔ(Ｖ))という。

　ある集合が代数であるとは、簡単に言えばその中の２つの要素をとって和や積をとったときに、その結果が必ず元の集合に含まれている、 つまり演算に関して閉じているということだ。どんなに高い階数のテンソルを掛けたり足したりしても、結果はちゃんとＴ(Ｖ)の中に収まっている。これはＴ(Ｖ)が無限に大きい空間であるためである。

　このテンソル代数は、"２つのルール"の章で説明した外積代数に良く似ている。それもそのはず、あの時はダイアディクにルールを加えて外積代数を作ったのだ。ならば、今度は、Ｔ(Ｖ)にルールを加えてやれば外積代数になるはずだ。 どこかで聞いた話だと思わないかい？

　しかし、それはまだ置いておこう。ここで、長い間保留にしておいた問題を、一つ解決しておこうと思うのだ。
　すなわち、テンソルの定義だ。ここまでくれば、意外と簡単で、

テンソルとは、テンソル代数Ｔ(Ｖ)の元である

ということになる。
　つまり、基底を残しておいて、テンソル積の一歩手前で止めた状態、というイメージなのだ。

　Ｔ(Ｖ)は当然、無限次元ベクトル空間である。

問い：Ｔ(Ｖ)に次のルールを設定すると基底が有限個に制限され、ｎ次元の外積代数になることを確認せよ。

"同じベクトルのテンソル積は、０とする"

答え：どのような基底が消えることになるか確認すれば良い。基底の総数は2^nである。