前回では、相対性原理がポアンカレ群により不変な関数の理論として定式化された。その際、ポアンカレ群の"ジェネレイター"は１０個あり、

Ｋx Ｋy Ｋz Ｌx Ｌy Ｌz Ｐt Ｐx Ｐy Ｐz

であった。ちなみにtをxyzより先に書いたのには意味があり、計量として

diag(1,-1,-1,-1) (diagは対角行列の意味)

を用いることを暗示している。

　　ジェネレイターは４次元多様体上の"ベクトル場"である。 すなわち、成分が多様体上の関数になっているようなベクトルが、各点に付随する写像である。このことは、Ｌxにｙやｚなど、位置に依存する関数が含まれることで分かる。 今回の例のように、"いたるところ平坦"な場合はミンコフスキー時空と呼ばれる。ちなみにこれは、歴史に即した呼び方ではない。時空回転の作用する空間として最初に４次元時空を導入したのは、アンリ・ポアンカレの１９０４年の論文であり、ミンコフスキーより早い。

　　さて、面白いのはいたるところ平坦な場合ではなく、"局所的に平坦な場合"である。すなわち、時空が局所的な４次元ポアンカレ空間のパッチワークであるような場合だ。このような空間のパッチワークを微分可能多様体と呼ぶが(以下略して多様体)、多様体にはベクトル場が付随する。そのベクトル場として、これらジェネレイターはどのような役割を演じているのだろうか。

　　注が長くなってしまったが、微分可能多様体上には１次元部分集合として曲線c(s)が考えられる。これはｓの区間[0:1]から多様体Ｍの上への写像である。c(s)∈Ｍ。すると必然的に、これを数直線とみなしてその上での微分が定義できるだろう。何を微分するかというと、多様体上の関数ｆ(c(s)∈Ｍ)を微分するのである。この演算子はｖと書く。

ｖ[ｆ]＝d/ds(ｆ(c(s)))

　　ｖ[ｆ]はベクトルではなくただの実数になるはずである！なぜならば、これは曲線が直線になる極限で、"数直線上のｆ(ｘ)の微分"に戻らなければならないからだ。このように、関数を実数に対応させる写像を汎関数(functional)といい、通常の括弧()ではなく鍵括弧[]を使うのが通例である。ちなみに関数を関数に写像するものは作用素といい、汎関数ではない。これは(形式的に)合成微分で計算できる：

d/ds(ｆ(c(s)) )＝dc/ds＊dｆ(x)/dx＝dc/ds(s0)＊ｆ'(c0)　(c0=c(s0)なる定点)

　　ｖ[ｆ]を曲線ｃに沿ったｆの方向微分という。気をつけてほしいのは、微分多様体には必然的に方向微分の概念が導入可能であるということである。つまり、方向微分はどのような空間にも付随する必然的な概念なのだ。ということは、ジェネレイターも方向微分の一部であると都合が良い。なぜなら、ジェネレイターは相対性原理を４次元時空で仮定することにより必然的に生じたからだ。ジェネレイターを方向微分として生成する曲線を、ジェネレイターの積分曲線という。

　　予想されることは、積分曲線上では何かが一定であるということである。しかし、今の積分曲線の定義は

方向微分としてジェネレイターを導く４次元中の曲線

である。この隔たりは大きいし、関わりは曖昧である。ｖ[ｆ]にはdc/dsという項がかかっているが、ｃとは多様体上の点であ り、微分が定義されているわけではない(むしろ今、定義しようとしているところである)。それでは、dc/dsは何を意味しているかは分からないではないか！積分曲線を求めるためには、速度ベクトル場という概念を明確化する必要があるのである。この速度場を正しく理解していないと、一般相対性理論も理解不能なので頑張ろう。

　　さて、見通しを良くするために整理してみよう。まず前回の内容から、４次元時空に相対性原理を入れると１０個のジェネレイターと呼ばれる微分作用素が存在する、ということが言える。そして、それは曲がった時空、すなわちパッチワーク空間の場合も考慮に入れると、多様体上のベクトル値関数のようなものであることがいえるだろう。

　　一方、多様体には必ず方向微分という概念が付随する。我々は今、この二つを結び付けようとしている。いわば、必然と必然とを結びつけるのが目的というわけなのだ。この二つの結びつきは、積分曲線を求めれば終了する。しかし、まずは方向微分の式を見つめなおすことから始めよう。

dc/ds(s0)＊ｆ'(c0)

　　前半の項dc/ds(s0)と後半の項ｆ'(c0)の積は実数でなければ困る(ｖは汎関数だ)。しかし、前半の項には曲線をｓで微分するという意味が曖昧であるという問題があり、後半の項は多様体上の関数の導関数を、導関数を多様体上に拡張したもので置き換えてよいのかという問題がある。

φ：ｘ→Ｍのとき　ｆ'(Ｍ)＝f'(φ(ｘ))？？？

　　これで問題は浮き彫りになった。何が問題の根源か分かるだろうか?しばし考えてもらいたい。さあ、画面の前で少し考えてみようではないか。

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・・・わかった？

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もう少しまとう。

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答えは、多様体上の点ｃが座標を持っていないことである。

それならば、多様体に局所座標を入れることで解決してやろう。

　　残念ながら、局所座標という概念をここで説明する暇は無い(知らなくても以下を読める気がする)。とても簡単かつ面白い概念なので、多様体の本を当たってほしい。松本幸夫｢多様体の基礎｣などは内容に比して高いが、高校生で十分読めるくらいファンダメンタルである。もしくは、ネットで検索すると出てくるかもしれない。

　　局所座標、φ：Ｍ→R^m＝(x1,x2, ... ,xm)を考えよう。すると多様体上の曲線ｃ(ｓ)をφで移すことが出来る。

φ(ｃ(ｓ))＝：ｃ'(ｓ)　ｏｎ　R^m

　　ｃ'は、R^m上の曲線である。それならば、上で問題になった第一項dc/dsは

dc'/ds＝(dc'1/ds, dc'2/ds, ... , dc'm/ds)

　　これは、各成分を微分したベクトルである。また、第二項ｆ'(c)は

ｆ'(ｃ')＝ｆ'(c1, c2, ... , cm)＝grad(ｆ)

　　とするのが妥当である。よって、結局汎関数ｖ[ｆ]の値は、

ｖ[ｆ]＝d/ds(ｆ(c(s)))＝dc/ds＊ｆ'(c):＝d(φc)/ds＊(ｆφ)'(c)

＝(dc'1/ds, dc'2/ds, ... , dc'm/ds)・grad(ｆ)＝ｖ・grad(ｆ)

　　最後の積は、ｍ次元ベクトルの内積である。これは、通常の全微分の公式と対応している！これで、上に挙げた２つの問題が２つとも解決された。grad(f)は、ｆの関数形から従い曲線によらない。よって、曲線への依存性は曲線の速度ベクトル、

ｖ＝(dc'1/ds, dc'2/ds, ... , dc'm/ds)

に集中している。だから、最初から汎関数をｖ[ｆ]と書いたのである。このｖを、速度ベクトル場という。

　　曲線ｃ'にとってｖは速度ベクトル場であり、ｖにとって曲線ｃは積分曲線である。ｃ'とｃの違いに注意すると、ｖはパラメトライズの仕方に依っている。これに、注意しておこう。だから、もし違う局所座標ψを

ψ(ｂ(ｓ))＝：d(ｓ)　ｏｎ　R^m

ととるならば、新しいｖ→ｗは、ヤコビアン(ヤコビ行列)を使って

ｗ＝(dｂ'1/ds, dｂ'2/ds, ... , dｂ'm/ds)

＝ｄ（dc/db）(dc'1/ds, dc'2/ds, ... , dc'm/ds)＝ｄ（dc/db）ｖ

となるわけである。このように、座標変換ｃ→ｂに対して、ヤコビアンの分母にｂが来る量を、反変ベクトルという。ｖは反変ベクトルである。さらに、ｖ[ｆ]を分解すると

ｖ[ｆ]＝ｖ・grad(ｆ)＝Σvk(∂/∂xk) on f

(和はｋについてとる)となり、ｖは汎関数でなく作用素Σvk(∂/∂xk)としても理解することが出来るとわかる。このように、作用素として理解したｖの作る作用素空間を、接空間という。

　　よって、ジェネレイターは反変ベクトルであり、(さらに作用素であるから)接空間の元であるということになる。長くなったから、積分曲線は次章で求めよう。４次元時空では結局ｃ'＝ｃとみなせるが、パラメトライズの影響が隠れていることを常に念頭に置こう。この章は重要であるから、よく復習しておいてほしい。