おはようございます。(といっても昨日の夜か)良い質問ですね(このページの趣旨にあった、という意味で)。これは、書きかけになっているtangent vectorの章にアップしようとしていた内容なので、書いたら保存しようと思います(笑)

さて、まず微分とは何のためにするものでしょう？答えだけ書きます。理由は自分で考えてください。微分とは、

(yの増加分)=(比例係数)(xの増加分)

と書ける様にするための物です。比例係数を通例dy/dxと書きます。自分で考えてくださいといって答えを言ってしまうのが私の悪い癖ですが、つまり微小世界のトリックとは無理やり線型性の成り立つ世界を作り出してしまうことなのですね。微小の極限を考えるということは一つの理想化ですが、その裏には線型性に対する欲望と解決策としての理想化があるということです。これがfの変数が一個のときの答えです。xの微小増加分をa倍すればyの微小増加分もa倍されますね。

多変数の場合ですが、全微分の公式df=(省略)を見てください(本を調べれば書いてあると思います。物理教育者としての天才EMAN氏が書かれたhttp://homepage2.nifty.com/eman/analytic/bibun.htmlを見てもわかると思います)。何かに似ていますね。そう、

dx,dy,dz...を基底とした線型結合の式に。

...文句が出ること必至だと思うので２変数の場合にだけ答えを書いてあげます。

df(a dx+b dy)=a ∂f/∂x dx+b ∂f/∂y dy
=a df(dx) + b df(dy)

こうした、微小区間において微小増分をベクトルとみなす方法を、接ベクトルや余接ベクトルというのです。(数学の特徴は、何でもかんでもベクトルにしたがるところですね)ここからは自分でやってください。まぁ一つ注意するとすれば、０周りのfについてしか線型性は成り立たないよ、というところでしょうかね。その問題、接ベクトルの導入としてよい問題と思います。サイトでつかわせていただいてもよろしいでしょうか？(笑)

では、失礼しますm(_ _)mご健闘をお祈りします。