よく使われると思う基礎程度の知識をまとめてみました。

　

　あ　い　う　え　お

アフィン空間 affine space
　ユークリッド空間から、長さの概念(内積・計量)を取り去ったシンプルなベクトル空間。
　アフィン空間で成り立つことはすべてユークリッド空間で成り立つ。
　長さが存在しないから、角度も存在しない。
　それらはより"根源的な"性質と見られるので、それらを専門的に研究する学問が存在し、それをアフィン幾何学という。 接空間・余接空間はアフィン空間である。
　

　か　き　く　け　こ

回転 rotation :rot:*d
　回転というのは、推進方向に対して垂直な方向への加速のことである。高校で習った円運動の説明を思い出せばよい。
　推進方向の成分を消去して作る外積は、これを記述するために存在する。
　余接空間の外積空間を考えると、１次形式の外微分が自動的にrotの定義式になることが、いわゆる１つのルールを導入しただけで起こることが確認できる。


局所的に平坦な構造
　多様体を被覆する局所近傍を十分細かく取れば、P∈Ｕm∩Ｕnなる点Pと座標近傍(Ｕm,φm),(Ｕn,φn)に対して、いつでも局所座標間の変換の行列の成分に対して

が成り立つようにできるとき、局所的に平坦であるという。特殊相対論は時空が平坦な構造を持っていること、すなわち時空が４次元ミンコフスキー空間であることを前提としている。一般相対論では質量が空間を"曲げて"平坦な構造ではなくしてしまうから、 時空を局所的に平坦な構造のパッチワークと見る、接続の概念が必要になる。

曲率 carvature
　曲線の曲率とは、単位距離当たりの接ベクトルの変化の大きさで、次のように定義される。

　sは曲線の長さ。tは接ベクトル。nは法線ベクトル。κが曲率である。実は単純な定義。


勾配 gradient :grad:d
　ベクトルの勾配とは、スカラー値関数の偏微分を成分とするベクトルのこと。
　もっと言えば、スカラー値関数の作る曲面の接ベクトル(電位と電場の関係)。
　しかし、一般にテンソルの勾配とは、ある成分に対して1からnまでの偏微分を計算して新しい添え字成分を作り、和を取って階数を１上げたテンソルのこと。要は、外微分したもの。
　ベクトル解析では、スカラーの勾配なのかベクトルの勾配なのか注意してみてみよう。
　→発散

　

　た　ち　つ　て　と

ダランベール演算子・ダランベルシアン :□
　ラプラシアンをミンコフスキー空間に拡張したもの。
　２階共変テンソルに、計量を掛けることによって作られる４階混合テンソルのはずだが、縮約をとって対角成分のみになるため、スカラー演算子になっている。ローレンツ変換で計量が変化しないので、スカラー。
　何故混合テンソルがスカラーでないのかが垣間見られますね。

動標構
　多様体の各点の接空間に入る正規直交基底のこと。

　は　ひ　ふ　へ　ほ

ハウスドルフ空間 Hausdorff space
　近さの概念が存在する位相空間。定義としては、
　ハウスドルフ空間に含まれる異なる２点P,Qをとれば、いつでもP,Qの近傍で　UP∩UQ = φ　となるものが存在すること。
　ハウスドルフ空間でない例としては、数直線上の整数の点全体の集合などがある。


発散 diversion :div:*d*
　ベクトルの発散とは、微小空間から"湧き出す"量の総和のこと。普通は２階テンソル(擬ベクトルに星印作用素を作用させてテンソルに戻す)に対して外微分を行うことによって得られる３階テンソルで、テンソルを知らない人間に対しては擬スカラーとして教えられる。
　テンソルの発散とは、ある添え字に対して1からnまでの偏微分の和を取り、階数を１下げたテンソルのこと。
　ゆえに２階のテンソルには右発散・左発散があり、それぞれベクトル量である。同様に、階数の数だけ発散の種類があることになる。そのため、いわゆるベクトル解析記号divは意味がとりづらい。
　外微分を行って得る場合はそれらの和になる。
　→勾配


フレネ-セレの公式 Frenet-Serret
　動標構のうちの一本を曲線の接ベクトルにとったときの、動標構の基底同士の関係。わかりやすく数式で表すと、e1を接ベクトル、e2を法線ベクトル、e3=e1×e2として、

ということである。κを曲率、τを捩率(れいりつ)という。ちょっと感動する公式。


ホッジ演算子・星印作用素 :*
　→Hodge star operator

　

　ら　り　る　れ　ろ

ラプラス演算子・ラプラシアン :△:d*d
　本質的に２階微分を行っている演算子。
　外微分で２階微分を表現するには、１回star operatorでベクトルに戻さなければならないということ。
　→ダランベルシアン


捩率
　曲線の捩率とは、単位長さあたりの陪法線ベクトルの変化の大きさで、次のように定義される。

　これもなんと言うことの無い単純な定義だ。こつは、法線ベクトルをとにかく変化方向にする。

おまけ
　ペーパーバックを読むときに役に立つ英語集。
　通常の頻出単語も含まれています。あとは高校卒業程度の英語力があれば大丈夫？？
　気が向いたり思いついたりしたときに追加していきます。トリビア企画。

Axiom of Choice
　選択公理。

Cartesian product
　直積のこと。

Corollary
　系。定理から直接導かれる事実で、特に何度も使うもの。

Differential forms
　微分形式。

Field:
　体のこと。

Figure
　数のことだが、すでに導かれている値や、実験値や、今話題になっている値など。

Homomorphic
　準同型。

Isomorphic
　同型。合同変換のなす群をIsoと書いたりする。

Lemma:
　補題のこと。

Normal:
　直角であること。Normal Vector(法線ベクトル)。Binormal Vector(陪法線ベクトル)。

versus:
　〜と比較して。Think over the advantages of tensors versus differential forms.