〜微小量の微小量はゼロ？(part2)〜 前回の話が少々哲学的で理解に苦しんだかもしれないが、一言でまとめると 普通の２次の微小量は０とみなしてよい。ただし例外としてdxdyやdxdydzがある。 ということである。これを踏まえて、そのｄＳやｄＶの増分について考えてみよう。さて、ｄＳという量はｄｘｄｙに等しいが、これは前回出てきたｄｘｄｔと違って０にはならない。ｄｘｄｔが０になるのは、同じ数直線上の微小量同士を掛けたためであり、
とか
とか こんなイメージで理解するのが良いだろう。同じ方向の棒同士を掛けると、細い棒の長さをさらに無限に細くするわけで、点になって消えてしまうわけだ。
さて、今回のテーマはずばり微小量の増分、である。その前に、上の図について少し考察を加えておこう。 まず、ｄｘが微小量であればその定数倍ａｄｘも微小量である。また、足し算についても、結果は微小量のままである。ということは、これはベクトルであるということだ。注意しよう(なぜベクトルなのかって？それが分からなければ、お手持ちの線型代数の参考書の、ベクトルの定義のページを見るように。) そこで、"基底"dx,dy,dzを定義して３次元ベクトル空間を作り、今まで a=(dx,dy,dz) というようにｘｙｚ座標を使って書いていたベクトルを、同じものを a=dx+dy+dz というように表現することにする(太字に注意)。このような基底の線型結合により、微小なベクトル変化は全てあらわすことが出来るのがわかるだろう。
ｄｘやｄｙがベクトルであることがわかったので、上図の"×(かける)"はベクトル間の最も一般的な積であるテンソル積である、ということがわかる。しかし、ｄｘ
外積代数は、まさに微小世界のかけ算を表現するために用意されたツールだったのだ！！
以下より、テンソル積の記号 まず、何次元の外積代数を考えるかだが、このサイトでは３次元で統一する。このサイトは初心者向けであるし、まず現実の物理にどう応用されるかが見たい。ただし、相対性理論を適用するときはこれまで見てきたとおり、４次元の外積代数を使うことだろう。 練習問題をおく。結局、上のリンク先の基底x,y,zが、基底dx,dy,dzに置き換わるだけのことである。ｄｘをベクトルしかも基底と呼ぶのには少し違和感を感じることだろう。しかし、あとに進めば進むほど、その有難さを実感するはずである。 問い：ｄＳとｄＶを基底dx,dy,dz基底dx,dy,dzを使った外積代数で書け。 答え：ｄＳ＝dx∧dy 又は dy∧dz 又は dz∧dx。プラスマイナスは実は面の正の向き。 ｄＶ＝dx∧dy∧dz 問い：空間的な３次元ベクトルの微小変位(dx+3dy+3dz)と、(-2dx+dy-2dz)の張る微小面積は？ 答え：普通に計算すれば7dx∧dy-9dy∧dz-4dz∧dx。外積はベクトルの大きさが平行四辺形をあらわす筈であったから、√146dSと書くのが良いであろう。ちなみに元のベクトルの長さは、単位を省略して√19と3である。 この問題を考えてみると、基底としてｄｘをとったものの、その長さについてはまちまちで不定性があることがわかる。しかし、不定性があるからこそ無限に０に近づくことが出来るとも言えるだろう。 |
ｄｘは？これはテンソル積の基底だろうか？ＮＯ．注意せよ。ｄｘとｄｘをかけたものは、前章の結果から０とみなさねばならない(のでしたね)。それなので、本来は９つあるはずの基底が６つしか残らないことになる。これと同じことがどこかで起こったのを思い出さないだろうか。
